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现象
前些天师弟们以开环驱动陀螺的方式做实验，利用信号发生器直接产生一定频率的余弦波信号去激励陀螺，以步长为1Hz调整信号频率。
理论上来讲，如果陀螺处于谐振状态，激励信号的相位应该超前陀螺输出信号90度。然而，利用示波器观察激励信号和陀螺输出信号的相位，发现在某个频率点附近，小1Hz的频率会使激励信号和陀螺输出信号同相位；而大1Hz的频率会使激励信号和陀螺输出信号反相位。
控制层面
师弟是学自动化出身的，于是尝试从控制层面去解释该现象。谐振式陀螺可以看做一个二阶系统，其相频特性决定在谐振点附近会从~0度快速下降到~-180度。
为了更清晰地说明这个过程，我们尝试利用伯德图进行分析。假设陀螺传递函数为：
\[G(s)=\frac{1}{s^2+s+628}\]利用MATLAB分别画出两个陀螺的伯德图：
clear;
close all;
num = [1];
den = [1,0.1,628];
sys=tf(num,den) %输出传递函数
bode(sys)
grid on;
h= findobj(gcf,'type','line');
set(h(3),'linewidth',1.5); %调整幅值曲线线宽
set(h(4),'linewidth',1.5); %调整相位曲线线宽
title('High Q factor');
程序运行结果为：
sys =
1
---------------
s^2 + s + 628
Continuous-time transfer function.
绘制图片为：
观察伯德图可以看出，在共振点（谐振点）附近的相位变化较为剧烈，可以实现细微的频率变化导致同相或反相。如此即可解释激励信号和陀螺输出信号同相或反相的问题。
以上都是基于经典控制理论的感性分析，我们尝试利用机械振动的理论进一步深入探究。
振动层面
为了简化问题，直接分析无阻尼受迫振动。设如下动力学方程：
\[\ddot{x}+\omega_{0}^{2} x=F \cos \omega t\]设该二阶微分方程的解为：
\[x=A \sin \omega t+B \cos \omega t\]将其代入原式可得：
利用待定系数法，比较等式两边系数得到：
\[%\begin{cases} A=0 \\ B=\frac{F}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} %\end{cases}\]于是得到微分方程的解为：
\[x(t)=\frac{F}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}} \cos \omega t\]观察上式可以看出，若 $\omega_0>\omega$，微分方程的解（即陀螺输出信号）前面的系数为正，振动（陀螺输出信号）与驱动（激励信号）同相；若 $\omega_0<\omega$，微分方程的解前面的系数为负，振动与驱动反相。
阻尼
由于实验用的陀螺具有超高Q值（极低阻尼），考虑相位的剧烈变化与阻尼有关，采用上述MATLAB代码进一步对低Q值（高阻尼）和极低Q值（超高阻尼）的二阶系统绘制伯德图。
低Q值系统：
\[G(s)=\frac{1}{s^2+5s+628}\]
增大阻尼（降低Q值）后，相频特性曲线明显不如高Q值的陡峭，也即相频特性收到阻尼的影响。
极低Q值系统：
\[G(s)=\frac{1}{s^2+50s+628}\]
进一步增加阻尼，相频曲线再次变缓，幅频曲线近似一阶系统。分析原因是由于一阶项对应系数远大于二阶项对应系数，因此主要表现出一阶特性。由此可见，保证较小的阻尼对于谐振式陀螺具有一定的实际意义。
